Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都等于a，D，E分别是AC₁，BB₁的中点．
（1）求证：平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）求点C₁到平面AEC的距离．

Answer 1

证明：（1）取A₁C₁的中点D₁，AC₁的中点F，连接B₁D₁、EF、D₁F．
则有D₁F AA₁，B₁E AA₁．
∴D₁F B₁E．
则四边形D₁FEB₁是平行四边形，
∴EF B₁D₁．
由于三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴B₁D₁⊥A₁C₁．
又∵平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁于A₁C₁，
且B₁D₁?平面A₁B₁C₁，
∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，∴EF⊥平面ACC₁A₁．
∵EF?平面AEC₁，∴平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁．
解：（2）由（1）知，EF⊥平面AC₁，
则EF是三棱锥E-ACC₁的高．
由三棱柱各棱长都等于a，
则EC=AE=EC₁=a，AC₁=a．
∴EF==a．
∵V =V ，
设三棱锥V 的高为h，
则h为点C₁到平面AEC的距离．
则 S_△AEC•h=S •EF，
即 ×a²h=×a²•a．
∴h=a，即点C₁到平面AEC的距离是 a．
分析：（1）取A₁C₁的中点D₁，AC₁的中点F，再证D₁FEB₁是平行四边形和B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，即得EF⊥平面ACC₁A₁，故证出面面垂直；
（2）由（1）知EF是三棱锥E-ACC₁的高，求出EF的长，再利用换低公式和体积相等求出点C₁到平面AEC的距离．
点评：本题考查点线面间位置关系的证明和距离的计算，用面面垂直的判定定理证明面面垂直，求点到面的距离可用体积相等和换底求解；考查了转化思想和推理论证能力．综合性强，易出错．解题时要认真审题，仔细解答．