Question

（本题满分12分）

    已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

 

Answer 1

【答案】

（1）椭圆的标准方程为；（2）直线过定点，定点坐标为

【解析】本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．

（1）由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a-c=1，从而可求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆方程联立，利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．

解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，

由已知得：，

椭圆的标准方程为-------4分

（2）设

联立   得，则----5分

-----8分

又

因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，

，即

-

解得：，且均满足------9分

当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；

当时，的方程为，直线过定点

所以，直线过定点，定点坐标为------12分