题目内容
【题目】设
、
分别是椭圆
的左、右焦点.
（1）若
是该椭圆上的一个动点，求
的最大值和最小值；
（2）设过定点
的直线与椭圆交于不同的两点
、
，且
为锐角（其中
为坐标原点），求直线
的斜率
的取值范围.
【答案】（1）最小值-2，最大值1；（2）
或
.
【解析】
（1）由椭圆方程求出焦点坐标，
是第一象限内该椭圆上的一点设为
，利用
，结合在椭圆上，可求
的最大值和最小值；（2）设直线
，与椭圆方程联立，整理得
，利用韦达定理以及平面向量数量积公式，可得
，结合判别式大于零可求直线
的斜率
取值范围.
由椭圆
知
，
，
，
所以
，
.设
，则
，
因为
，故当
，即点为椭圆短轴端点时，有最小值-2.
当
，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1.
（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，
，
，
联立
消去
，整理得.
，
.由
，
得
或
.①
又
，
.
又
，
，即
.
.②
故由①②得
或.
【题目】从某山区养殖场散养的3500头猪中随机抽取5头，测量猪的体长x（cm）和体重y（kg），得如下测量数据：
猪编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x | 169 | 181 | 166 | 185 | 180 |
y | 95 | 100 | 97 | 103 | 101 |
（1）当且仅当x，y满足：x≥180且y≥100时，该猪为优等品，用上述样本数据估计山区养殖场散养的3500头猪中优等品的数量；
（2）从抽取的上述5头猪中，随机抽取2头中优等品数x的分布列及其数学期望．
【题目】某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保费 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
概率 | 0.30 | 0.15 | 0.20 | 0.20 | 0.10 | 0.05 |
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
