Question

在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线有一个公共的焦点，且过点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点是椭圆在第一象限上的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,,试证明为定值,并求出这个定值；
（III）在第(Ⅱ)问的条件下，作，设交于点，
证明:当点在椭圆上移动时，点在某定直线上.

Answer 1

（Ⅰ）椭圆的方程为；(Ⅱ)3；（III）点在直线上.

试题分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点求出椭圆的焦点，又椭圆过点，得：，
且，，解方程组可得椭圆的方程：
(Ⅱ)设出切点的坐标和切线的方程，利用直线和椭圆相切的条件，证明为定值.
（III）利用(Ⅱ)的结果,由,写出直线的方程,可解出交于点
的坐标,进而证明当点在椭圆上移动时，点在某定直线上.

试题解析：(Ⅰ)由题意得 ，
又，         2分
消去可得，，解得或（舍去），则，
求椭圆的方程为．        4分
(Ⅱ)设直线方程为，并设点，
由.
，         6分
，当时，直线与椭圆相交，所以，，
由得，，       8分
，整理得：.而,代入中得
为定值.        10分
（用导数求解也可，若直接用切线公式扣4分，只得2分）
（III）的斜率为：，又由,
从而得直线的方程为：,联立方程,
消去得方程，因为， 所以 ，
即点在直线上.         14分