Question

已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为(

π

6

，0)和(

5π

6

，0)，且过点（0，-3）．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求满足f(x)≥

3

的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过图象与x轴相交的两相邻点的坐标为(

π

6

，0)和(

5π

6

，0)，求出函数的周期，确定ω的值，利用图象经过点（0，-3）．求出φ，即可求f（x）的解析式．
（2）化简f(x)≥

3

，直接解三角不等式，求出x的取值范围．

解答：解：（1）可得f（x）的周期为T=

5π

6

-

π

6

=

2π

3

=

π

ω

，∴ω=

3

2

，
得f(x)=Atan(

3

2

x+φ)，它的图象过点(

π

6

，0)，∴Atan(

3

2

•

π

6

+φ)=0，
即tan(

π

4

+φ)=0，∴

π

4

+φ=kπ，得φ=kπ-

π

4

，又|φ|＜

π

2

，∴φ=-

π

4

，
于是f(x)=Atan(

3

2

x-

π

4

)，它的图象过点（0，-3），∴Atan(-

π

4

)=-3，得A=3．
∴f(x)=3tan(

3

2

x-

π

4

)；
（2）由（1）得3tan(

3

2

x-

π

4

)≥

3

，∴tan(

3

2

x-

π

4

)≥

3

3

，
得kπ+

π

6

≤

3

2

x-

π

4

＜kπ+

π

2

，解得

2kπ

3

+

5π

18

≤x＜

2kπ

3

+

π

2

，
∴满足f(x)≥

3

的x的取值范围是[

2kπ

3

+

5π

18

，

2kπ

3

+

π

2

)(k∈Z)．

点评：本题是中档题，考查三角函数的图象，三角函数的周期，解析式的求法，三角不等式的解法，考查计算能力．