Question

如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC₁的中点．
（1）求异面直线A₁D与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求直线A₁B₁到平面DAB的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求向量的夹角来求异面直线所成的角；或通过作平行线，再解三角形求解；
（2）根据转化思想，线面距离转化为点到平面的距离，再利用三棱锥的换底性求解．
解答：解：（1）方法一：
以A₁B₁中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．
由题意得
则
设θ为向量的夹角，，
∴异面直线A₁D与BC所成角的大小为arccos．
方法二：取B₁B中点E，连结A₁E，DE．∵DE∥CB
∴∠A₁DE为异面直线A₁D与BC所成的角．
在Rt△A₁B₁E中，；在Rt△A₁C₁D中，；
．
∴异面直线A₁D与BC所成角的大小为arccos．
（2）∵AB∥A₁B₁，∴A₁B₁∥平面ABD，
∴A₁B₁到平面DAB的距离即为A₁到平面DAB的距离，设为h．
由题意得，
等腰△ADB底边AB上的高为，，则，
且D到平面ABB₁A₁的距离为，
由得
×S_△ABD•h=××，
∴，
∴直线A₁B₁到平面DAB的距离为．
点评：本题考查异面直线所成的角及线面距离问题．