Question

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，S_n是和a_n的等差中项．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S_n是和a_n的等差中项，知2S_n=，且a_n＞0，由此能够证明数列{a_n}为等差数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由a_n=n，则，故=2（），由此能够证明．
解答：解：（Ⅰ）∵S_n是和a_n的等差中项，
∴2S_n=，且a_n＞0，
当n=1时，2a₁=+a₁，解得a₁=1，
当n≥2时，有2S_n-1=+a_n-1，
∴2S_n-2S_n-1=，
即，
∴=a_n+a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=a_n+a_n-1，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，且a_n=n．
（Ⅱ）∵a_n=n，
则，
∴=2（），
∴
=2[（1-）+（）+…+（）]
=2（1-）＜2．
∴．
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．