Question

（04年湖南卷理）（14分）

如图，直线与相交于点P。直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，，，，…。点的横坐标构成数列。

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）比较与的大小。

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）证明：设点P_n的坐标是，由已知条件得

点Q_n、P_n+1的坐标分别是：

由P_n+1在直线l₁上，得 

所以    即 

（Ⅱ）解：由题设知 又由（Ⅰ）知 ，

所以数列  是首项为公比为的等比数列.

从而 

（Ⅲ）解：由得点P的坐标为（1，1）.

所以 

   

（i）当时，>1+9=10.

而此时 

（ii）当时，<1+9=10.

而此时