题目内容

对于数列{an}，{cn}数列，其中cn＝an+1－an(n∈N*)．

(Ⅰ)若数列{an}的通项公式，求{cn}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{an}的首项是1，且满足cn－an＝2n．

(1)求证：数列为等差数列；

(2)求数列{an}的前n项和Sn．

答案：
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对于数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，规定{△kan}为数列{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an，且k∈N*，k≥2．
（Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=
5
2
n2-
13
2
n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-an+1+an=-2n（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记bn=
a1(n=1)
2n-1
△an
(n≥2，n∈N*)
，求证：b1+
b2
2
+…+
bn
n
＜
17
12
．
8、对于数列{an}，若存在常数M，使得对任意n∈N*，an与an+1中至少有一个不小于M，则记作{an}?M，那么下列命题正确的是（　　）
对于数列{an}，定义数列{bm}如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）设{an}是单调递增数列，若a3=4，则b4=
 
；
（Ⅱ）若数列{an}的通项公式为an=2n-1，n∈N*，则数列{bm}的通项是
 
．
（2008•上海一模）观察数列：
①1，-1，1，-1，…；
②正整数依次被4除所得余数构成的数列1，2，3，0，1，2，3，0，…；
③an=tan
nπ
3
，n=1，2，3，…
（1）对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列{an}，如果
存在正整数T
存在正整数T
，对于一切正整数n都满足
an+T=an
an+T=an
成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列；
（2）若数列{an}满足an+2=an+1-an，n∈N*，Sn为{an}的前n项和，且S2=2008，S3=2010，证明{an}为周期数列，并求S2008；
（3）若数列{an}的首项a1=p，p∈[0，
1
2
），且an+1=2an（1-an），n∈N*，判断数列{an}是否为周期数列，并证明你的结论．
（2012•通州区一模）对于数列{an}，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{an}的“差等比数列”，记为数列{bn}．设数列{bn}的首项b1=2，公比为q（q为常数）．
（I）若q=2，写出一个数列{an}的前4项；
（II）（ⅰ）判断数列{an}是否为等差数列，并说明你的理由；
（ⅱ）a1与q满足什么条件，数列{an}是等比数列，并证明你的结论；
（III）若a1=1，1＜q＜2，数列{an+cn}是公差为q的等差数列（n∈N*），且c1=q，求使得cn＜0成立的n的取值范围．

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