Question

已知数列{ a _n}的各项都是正数，且满足：a₀=1，a_n+1=a_n·（4-a_n）（n∈N）.

证明：a_n＜a_n+1＜2（n∈N）.

Answer 1

证明略

解析:

证明  方法一  用数学归纳法证明：

（1）当n=0时，a₀=1，a₁=a₀(4-a₀)=,

所以a₀＜a₁＜2,命题正确.

（2）假设n=k时命题成立，即a_k-1＜a_k＜2.

则当n=k+1时，a_k-a_k+1?

=a_k-1(4-a_k-1)-a_k(4-a_k)

=2(a_k-1-a_k)-(a_k-1-a_k)(a_k-1+a_k)

= (a_k-1-a_k)(4-a_k-1-a_k).

而a_k-1-a_k＜0,4-a_k-1-a_k＞0,所以a_k-a_k+1＜0.

又a_k+1=a_k(4-a_k)=［4-（a_k-2）²］＜2.

所以n=k+1时命题成立.

由（1）（2）可知，对一切n∈N时有a_n＜a_n+1＜2.

方法二  用数学归纳法证明：

(1)当n=0时，a₀=1,a₁=a₀(4-a₀)= ,

所以0＜a₀＜a₁＜2;

(2)假设n=k时有a_k-1＜a_k＜2成立，

令f(x)= x(4-x),f(x)在［0，2］上单调递增，

所以由假设有：f（a_k-1）＜f(a_k)＜f(2),

即a_k-1（4-a_k-1）＜a_k（4-a_k）＜×2×(4-2),

也即当n=k+1时,a_k＜a_k+1＜2成立.

所以对一切n∈N，有a_k＜a_k+1＜2.