Question

（2013•青岛一模）已知数列{a_n} （n∈N^*）是首项为a，公比为q≠0的等比数列，S_n是数列{a_n} 的前n项和，已知12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．
（Ⅰ）当公比q取何值时，使得a₁，2a₇，3a₄成等差数列；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列，结合等比数列的性质及求和公式可求q，然后代入检验即可
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求：na_3n-2=n(-

1

4

)n-1a，结合数列的通项的特点，考虑利用错位相减求和即可

解答：解：（Ⅰ）由题意可知，a≠0
①当q=1时，则12s₃=36a，s₆=6a，s₁₂-s₆=6a，
此时不满足条件12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列；…（1分）
②当q≠1时，则12s3=

12a(1-q3)

1-q

，s₆=

a(1-q6)

1-q

s₁₂-s₆=

a(1-q12)-(1-q6)

1-q

由题意得：12×

a(1-q3)

1-q

[

a(1-q12)

1-q

-

a(1-q6)

1-q

]=[

a(1-q6)

1-q

]2
化简整理得：（4q³+1）（3q³-1）（1-q³）（1-q⁶）=0
解得：q3=-

1

4

或q3=

1

3

或q=-1…（4分）
当q=-1时，a₁+3a₄=-2a，2a₇=2a，
∴a₁+3a₄≠2（2a₇），不满足条件；
当q3=-

1

4

时，a1+3a4=a(1+3q3)=

a

4

，2(2a7)=4aq6=

a

4

，
即∴a₁+3a₄=2（2a₇），所以当q=-

3 2

2

时，满足条件
当q3=

1

3

时，a1+3a4=a(1+3q3)=2a，2(2a7)=4aq6=

4a

9

∴a₁+3a₄≠2（2a₇），从而当q3=

1

3

时，不满足条件
综上，当q=-

3 2

2

时，使得a₁，2a₇，3a₄成等差数列．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：na_3n-2=n(-

1

4

)n-1a
所以Tn=a+2(-

1

4

)a+3×(-

1

4

)2a+…+(-

1

4

)n-1a…①
则-

1

4

Tn=-

1

4

a+2×(-

1

4

)2a+…+(n-1)•(-

1

4

)n-1a+n(-

1

4

)na…②
①-②得：

5

4

Tn=a+(-

1

4

)a+(-

1

4

)2a+(-

1

4

)3a+…+(-

1

4

)n-1a-n(-

1

4

)na
=

4a

5

-(n+

4

5

)(-

1

4

)na
所以T_n=

16a

25

-(

16

25

+

4n

5

)(-

1

4

)na．…（13分）

点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及性质的应用，错位相减求和方法的应用，体现了分类讨论思想的应用