Question

已知函数f（x）=

x+3 -2 x -1 (x≠1) a            (x=1)

在x=1处连续，则

lim

n→∞

ax2+1

a2x2+x

=

2

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）在x=1处连续，说明当x→1时，

x+3 -2

x -1

的极限等于a值，由此可得a=

1

2

，代入

ax2+1

a2x2+x

可得所求极限等于

lim

n→∞

1 2 x2+1

1 4 x2+x

=2，问题得到解决．

解答：解：∵函数f（x）在x=1处连续，
∴函数当x→1时，函数的极限为a
利用求导数的方法，可以得到：
当x→1时

x+3 -2

x -1

→

1

2

故a=

1

2

代入得：

lim

n→∞

ax2+1

a2x2+x

=

lim

n→∞

1 2 x2+1

1 4 x2+x

=

lim

n→∞

2x2+4

x2+4x

=

lim

n→∞

2 + 4 x2

1+ 4 x

=2
故答案为：2

点评：本题考查了函数的连续性和极限的相关和运算，属于中档题．抓住函数连续的定义，运用极限的思想结合导数的运算法则，是解决本题的关键．