Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（n，S_n）（n∈N⁺）均在函数f（x）=x²+3x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

2an

，其中n∈N⁺，求数列{n•b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：由题意可得Sn=n2+3n，令n=1可求a₁=s₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入可求
（2）由（1）可得，bn=

2an

=

22n+2

=2ⁿ⁺¹，则S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，利用错位相减可求和

解答：解（1）由题意可得Sn=n2+3n
∴a₁=s₁=4
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+3n-（n-1）²+3（n-1）=2n+2
而a₁=4=2×1+2适合上式
故a_n=2n+2
（2）由（1）可得，bn=

2an

=

22n+2

=2ⁿ⁺¹
∴S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹
2S_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²
两式相减可得，-S_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2²⁺ⁿ
=

4(1-2n)

1-2

-n•2n+2=2ⁿ⁺²-4-n•2ⁿ⁺²
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4

点评：数列的递推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

是实现由和转换到项的基本工具，但要注意对n=1的检验，而错位相减法是数列求和的重点与难点，要注意掌握