Question

         (本小题满分12分）

妯图，在直三棱柱中，平面丄侧面

(I )求证：AB丄BC

(II)若直线AC与平面所成的角为，二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.

 

Answer 1

【解及证】（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，…………1分

 则由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁于A₁B，得AD⊥平面A₁BC, …………2分　

又BC平面A₁BC，∴AD⊥BC. 　　　…………3分

∵三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，则AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BC. …4分

又AA₁∩AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁，　　　　　　　　…………5分

又AB侧面A₁ABB₁，故AB⊥BC　　　　　………………………6分

（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A₁BC所成的角，…………7分

是二面角A₁—BC—A的平面角，即　　　　　　………..…8分

于是在Rt△ADC中，………9分　　在Rt△ADB中，　……….10分

由AB＜AC，得又所以　　　　　　…………………….12分

解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，　　　　　　　　………………7分

设AA₁=a,AC=b,AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0),

 于是

，，　……8分

设平面A₁BC的一个法向量为=(x,y,z)，则由得　……9分

可取=(0,,c)，于是c＞0，与n的夹角为锐角，则与互为余角.

 ∴sinθ=cosβ==，  cosφ=，

∴于是由＜b，得即又

∴…..12分.