Question

已知直线y=ax+b（a≠b）与圆x²+y²=1．
（1）当直线与圆有两个交点时，求a，b应满足的条件；
（2）设这两个交点为M，N且OM，ON与x轴正方向成α角，β角，β求证：cos(α+β)=

a2-1

a2+1

．

Answer 1

分析：（1）先求得圆心到直线的距离，若直线与圆相交需此距离小于半径进而求得a和b的不等式关系．
（2）取MN的中点P，连接OP，则可知∠XOP=

α+β

2

，进而表示出MN和OP的斜率，进而利用余弦的二倍角公式求得
cos(α+β)=cos2

α+β

2

-sin2

α+β

2

，代入tan

α+β

2

原式得证．

解答：解：（1）圆心到直线的距离为d=

|b|

1+a2

，
∴d＜1⇒a²-b²+1＞0，
即a²-b²+1＞0时直线与圆有两个交点．
（2）取MN的中点P，连接OP，则∠XOP=

α+β

2

，
∴kMN=a，kOP=-

1

a

=tan

α+β

2

，∴cos(α+β)=cos2

α+β

2

-sin2

α+β

2

=

1-tan2 α+β 2

1+tan2 α+β 2

=

a2-1

a2+1

得证．

点评：本题主要考查了圆与直线相交的性质，主要是利用了圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．