题目内容
【题目】已知数列
的通项公式为
，其中
且
.
（1）若是正项数列，求
的取值范围；
（2）若
，数列
满足
，且对任意
，均有
，写出所有满足条件的的值；
（3）若
，数列
满足
，其前n项和为
，且使
的i和j至少4组，
、
、……、中至少有5个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求
，满足的充要条件并加以证明.
【答案】（1）
（2）
（3）
证明见解析.
【解析】
（1）通过函数
是与x轴交于
两点且开口向上的抛物线可知，只需知均在1的左边即可；
（2）通过
化简可知
，排除
可知
，此时可知对于
而言，当
时
单调递减，当
时单调递增，进而解不等式组
即得结论；
（3）通过
及
可知
，结合
可知
，从而可知
的最小值为5，通过
中至少5个连续的值相等可知，且其他值不相等
，进而可得
的值为8.
（1）由题意，
，，
使数列
为正项数列，则
，故的取值范围是
（2）
当时，均单调递增，不合题意
当时，对于可知，当时单调递减，当时单调递增，由题意可知
联立不等式，解得
（3）
又
，
或
此时的
的四个值为1，2，3，4，故
又中至少5个连续的值相等
不妨设
，则
因为当
时，
，而使其他值不相等，则
故
【题目】为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过
分时，按
元/分计费；超过分时，超出部分按
元/分计费．已知王先生家离上班地点
公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 
(分)是一个随机变量．现统计了
次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：
时间 |
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频数 |
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将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为
分．（1）写出王先生一次租车费用
（元）与用车时间（分）的函数关系式；（2）若王先生一次开车时间不超过分为“路段畅通”，设
表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望.
