Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，则下列结论正确的是

（1）（3）

（1）△ABC一定是钝角三角形；    
（2）△ABC被唯一确定；
（3）sinA：sinB：sinC=7：5：3；     
（4）若b+c=8，则△ABC的面积为

15 3

2

．

Answer 1

分析：设b+c=4k，a+c=5k，a+b=6k，求得 a、b、c 的值，再利用余弦定理求得cosA 的值，可得A=120°，再求得△ABC的面积为

1

2

bc•sinA 的值，从而得出结论．

解答：解：在△ABC中，由于（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，
可设b+c=4k，a+c=5k，a+b=6k，求得 a=

7k

2

，b=

5k

2

，c=

3k

2

．
求得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

＜0，故A=120°为钝角，故（1）正确．
由以上可得，三角形三边之比a：b：c=7：5：3，
故这样的三角形有无数多个，故（2）不正确，（3）正确．
若b+c=8，则b=5、c=3，由正弦定理可得
△ABC的面积为

1

2

bc•sinA=

1

2

×5×3×sin120°=

15 3

4

，故（4）不正确．
故答案为（1）、（3）．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．