Question

已知函数f（x）=x³-ax-1．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说出理由．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，然后根据x=1为函数f（x）的一个极值点，则f'（1）=0求出a的值，
（2）欲使f（x）在（-1，1）上单调递减，只需f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立，利用分离法将a分离出来，求出不等式另一侧的最大值，再验证等号是否成立，即可求出a的范围；

解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax-1，∴f'（x）=3x²-a．依题意得f'（1）=3-a=0，解得a=3．
（2）假设存在a满足条件，由题意知，
f′（x）=3x²-a≤0在（-1，1）上恒成立，
即a≥3x²在（-1，1）上恒成立，∴a≥3．
又a=3，f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3（x²-1）在（-1，1）上，
f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（-1，1）上单调递减，
∴a≥3．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性，注意验证取等号是否成立，考查计算能力和分析问题的能力．