Question

设f（x）=

a．2x-1

2x+1

是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函数f^-1（x）．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，解方程求出a的值．
（2）由（1）知f（x）=

2x-1

2x+1

，由y=

2x-1

2x+1

，解出 x的解析式，再把自变量和函数交换位置，并注明反函数的定义域（即原函数的值域）即得反函数．

解答：解：（1）由题意知f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，即

a•2-x-1

2-x+1

=-

a•2x-1

2x+1

，
即（a-1）（2^x+1）=0，
∴a=1．
（2）由（1）知f（x）=

2x-1

2x+1

，由y=

2x-1

2x+1

，得 2^x=

1+y

1-y

，x=log₂

1+y

1-y

，
∴f^-1（x）=log₂

1+x

1-x

（-1＜x＜1）．

点评：本题考查求一个函数的反函数的方法，奇函数的定义以及指数式与对数式的互化．