Question

（满分12分）设函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（II）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）函数的单调递增区间为．（2）．

【解析】

试题分析：（1）函数的定义域为，

∵，  

∵，则使的的取值范围为，

故函数的单调递增区间为．  

（2）方法1：∵，

∴．

令，              

∵，且，

由．

∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，

故在区间内恰有两个相异实根    

即解得：．

综上所述，的取值范围是 

方法2：∵，

∴．

即，

令， ∵，且，

由．

∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．

∵，，，

又，

故在区间内恰有两个相异实根．

即．

综上所述，的取值范围是．

考点：本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值，方程解的讨论，不等式组的解法。

点评：中档题，导数的应用是高考必考内容，思路往往比较明确根据导数值的正负，确定函数的单调性。对于方程解的讨论，本解法提供了“数形结合法”和“导数法”两种方法，都说明要充分研究函数的图象特征，利用函数的图象特征解题。本题涉及到了对数函数，应特别注意函数的定义域。