题目内容

已知向量
a
=(sinx，1)，
b
=(cosx，-
1
2
)．
（1）当
a
⊥
b
时，求|
a
+
b
|的值；
（2）求函数f(x)=
a
•(2
b
-
a
)+cos2x的最大值，并求出f（x）取得最大值时x的集合．
分析：（1）根据平面向量垂直时数量积为0，可得
a
•
b
=0，然后把所求的式子利用
a2
=|a|变形后，被开方数再利用完全平方公式化简，利用
a
2=|
a
|2以及
a
•
b
=0化简后，利用同角三角函数间的基本关系变形，开方可得值；
（2）把函数f（x）的解析式先利用平面向量的数量积运算法则计算后，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，前两项提取
2
后，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据这个角等于2kπ+
π
2
时，正弦函数的最大值为1，求出函数f（x）的最大值，进而求出此时满足题意的x的集合．
解答：解：（1）当
a
⊥
b
时，
a
•
b
=0，
则|
a
+
b
|=
a
2+2
a
•
b
+
b
2
=
sin2x+1+cos2x+
1
4
=
3
2
；
（2）f（x）=2
a
•
b
-
a
2+cos2x=2sinxcosx-1-sin2x-1+cos2x
=sin2x+cos2x-2=
2
sin(2x+
π
4
)-2，
∴当sin(2x+
π
4
)=1?2x+
π
4
=
π
2
+2kπ?x=
π
8
+kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值
2
-2，
此时x的集合是{x|x=
π
8
+kπ，k∈Z}．
点评：此题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变形，以及三角函数的最值，要求学生掌握平面向量的数量积运算法则，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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