Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=

3

，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成的角；
（3）在线段PC上是否存在一点E，使得DE∥平面PAB？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先证明BD⊥CD，再证明PD⊥BD，利用线面垂直的判定可得BD⊥平面PCD，从而可得BD⊥PC；
（2）根据PD⊥平面ABCD，可得平面PDC⊥平面ABCD．过D作DF∥AB交BC于F，过点F作FG⊥CD交CD于G，则∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角，从而可得结论；
（3）连接EF，证明平面DEF∥平面PAB，从而EF∥AB，利用平行线的性质，可得结论．

解答：（1）证明：在直角△ABD中，AD=1，AB=

3

，所以BD=2
∴∠ABD=30°
∴∠DBC=60°
在△DBC中，CD²=BD²+BC²-2BD×BC×cos60°=4+16-2×2×4×

1

2

=12
∴BC²=CD²+BD²，
∴BD⊥CD
∵PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴PD⊥BD
∵PD∩CD=D
∴BD⊥平面PCD
∵PC?平面PCD
∴BD⊥PC；
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面ABCD．
∴平面PDC⊥平面ABCD．
过D作DF∥AB交BC于F，过点F作FG⊥CD交CD于G，则∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角．
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，DF=

3

，CF=3，
∴tan∠FDG=

3

，∴∠FDG=60°．
即直线AB与平面PDC所成角为60°．
（3）解：存在，且满足

PE

PC

=

1

4

连接EF，∵DF∥AB，∴DF∥平面PAB．
又∵DE∥平面PAB，DE∩DF=D
∴平面DEF∥平面PAB，
∵EF?平面DEF，∴EF∥AB．
又∵AD=1，BC=4，BF=1
∴

PE

PC

=

BF

BC

=

1

4

点评：本题通过分层设计，考查了空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．