Question

数列{a_n} 中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数f（x）=x+2的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足bn=2an-1，求证数列{b_n}，是等比数列，并求其前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数f（x）=x+2的图象上得到a_n+1-a_n=2，利用等差数列通项求法即可解决．
（2）由（1）中的a_n的值即可求出b_n的值，然后利用等比数列证法及求和公式即可解决．

解答：解：（Ⅰ）∵（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2的图象上，
∴a_n+1=a_n+2即a_n+1-a_n=2（2分）
∴数列{a_n}是a₁=1为首项，2为公差的等差数列，（4分）
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1（6分）
（Ⅱ）∵数列{b_n}满足bn=2an-1∴b_n=2^2n-2=4^n-1，（9分）
∴

bn+1

bn

=

4n

4n-1

=4
∴数列{b_n}是以1为首项，4为公比的等比数列．（11分）
∴sn=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

．（13分）

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项和和的求法，属易题．