Question

（本小题满分12分）
已知函数
（1）若方程内有两个不等的实根，求实数m的取值范围；（e为自然对数的底数）
（2）如果函数的图象与x轴交于两点、且．求证：（其中正常数）．

Answer 1

解：（1）由，
求导数得到：……………………（2分）
，故在有唯一的极值点
，且知
故上有两个不等实根需满足：
故所求m的取值范围为．………………（6分）
（2）又有两个实根
则两式相减得到：
  ……………………．（8分）
于是

，故………………（9分）
要证：，只需证：
只需证：……………………………．（10分）
令，则只需证明：在上恒成立．
又则于是由可知．故知
上为增函数，则
从而可知，即（*）式成立，
从而原不等式得证．…………………（12分）

略