Question

在△ABC中，已知sin（+B）=．
（1）求tan2B的值；
（2）若cosA=，c=10，求△ABC的面积；
（3）若函数f（x）=，求f（C）+sin2C的值．

Answer 1

解：（1）∵sin（+B）=cosB=，
又B为三角形的内角，
∴sinB==，
∴tanB==，
则tan2B===；
（2）∵cosA=，A为三角形的内角，
∴sinA==，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，
又c=10，
∴==，即b==2，a==2，
则△ABC的面积S=bcsinA=×2×10×=10；
（3）∵f（x）==
==2cos²x+1-2=2cos²x-1=cos2x，
∴f（C）=cos2C，
又a=2，b=2，c=10，
∴cosC===-，
又C为三角形的内角，∴C=，
则f（C）+sin2C=cos2C+sin2C=sin（2C+）=sin=-1．
分析：（1）利用诱导公式化简已知的等式左边，得到cosB的值，再由B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，进而求出tanB的值，利用二倍角的正切函数公式化简tan2B后，将tanB的值代入即可求出tan2B的值；
（2）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再利用诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（A+B）后将各自的值代入求出sinC的值，再由c及sinB的值，利用正弦定理求出b的长，最后由b，c及sinA的值，即可求出三角形ABC的面积；
（3）将函数f（x）解析式的分子第一、三项结合，利用平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简，分子各项都除以分母，化简合并后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，得到最简结果，然后将x=C代入函数解析式得到f（C），代入所求式子中，提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由第二问求出的a，b及c的值，利用余弦定理求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，进而求出这个角的度数，利用特殊角的三角函数值即可求出所求式子的值．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，二倍角的正切、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．