Question

（2013•海淀区二模）已知点 D 为△ABC 的边 BC 上一点．且 BD=2DC，∠ADB=75°，∠ACB=30°，AD=

2

．
（I）求CD的长；
（II）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）先求出∠DAC=45°，根据正弦定理有

AD

sin30°

=

CD

sin45°

，由此求得CD的值．
（II）又在△ABD中，∠ADB=75°，利用两角和的正弦公式求得sin75°=sin（45°+30°）的值，可得S_△ADB的值，再由S_△ABC=

3

2

S_△ADB 求得结果．

解答：解：（I）因为∠ADB=75°，∠ACB=30°，所以∠DAC=45°，在△ACD中，AD=

2

，
根据正弦定理有 

AD

sin30°

=

CD

sin45°

，…（4分）
所以CD=2．   …（6分）
（II）由 BD=2DC，可得BD=4． …（7分）
又在△ABD中，∠ADB=75°，sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=

6 + 2

4

，…（9分）
所以 S_△ADB=

1

2

•AD•BD•sin75°=

3

+1，…（12分）
所以 S_△ABC=

3

2

S_△ADB=

3 3 +3

2

．  …（13分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦定理的应用，属于中档题．