题目内容
求函数f（x）=
x3-9x+1（x∈R）的极值．
| 1 | 3 |
分析：函数f（x）在区间（a，b）内某一点x0取得极值的充要条件是函数在这一点附近的导数异号且f′（x0）=0．
解答：解：因为函数f（x）=
x3-9x+1（x∈R），
所以f'（x）=x3-9=（x-3）（x+3）
令f′（x）=0，解得x=-3，或x=3．
由f′（x）＞0，得x＜-3，或x＞3；由f′（x）＜0，得-3＜x＜3．（4分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
（8分）
因此当x=-3时，f（x）有极大值，极大值为f（-3）=19；（10分）
当x=3时，f（x）有极小值，极小值为f（3）=-17．（12分）
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所以f'（x）=x3-9=（x-3）（x+3）
令f′（x）=0，解得x=-3，或x=3．
由f′（x）＞0，得x＜-3，或x＞3；由f′（x）＜0，得-3＜x＜3．（4分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
| x | （-∞，-3） | -3 | （-3，3） | 3 | （3，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | 单调递增 | 19 | 单调递减 | -17 | 单调递增 |
因此当x=-3时，f（x）有极大值，极大值为f（-3）=19；（10分）
当x=3时，f（x）有极小值，极小值为f（3）=-17．（12分）
点评：考查了函数在某点取得极值的条件，连续函数在函数定义域内某点处左右两侧的单调性不同，则该点是函数的极值点．此题是中档题．掌握函数取得极值的充要条件是解题的关键．
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