Question

在数列a_n中a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（2n+1）（n∈N^*
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）求数列{

nan

2n

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，根据条件得到n-1时式子的和为（n-1）（2n-1），相减得到a_n的通项公式，把n=1代入判断也满足；
（2）把a_n的通项公式代入到b_n=

nan

2n

中得到b_n的通项公式，表示出前n项的和T_n，两边都乘以

1

2

，相减得到T_n的通项即可．

解答：解：（1）n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-1）（2n-1）
∴na_n=4n-1，a_n=4-

1

n

．
当n=1时，a₁=3满足上式，
∴a_n=4-

1

n

（n≥1，n∈N⁺）
（2）记b_n=

nan

2n

则b_n=

4n-1

2n

，
∴T_n=

3

2

+

7

22

+

11

23

+…+

4n-1

2n

，
而

1

2

T_n=

3

22

+

7

23

+

11

24

+…+

4n-5

2n

+

4n-1

2n+1

∴

1

2

T_n=

7

2

-

4n+7

2n+1

，T_n=7-

4n+7

2n

点评：考查学生会根据已知条件推出数列的通项公式，灵活运用数列的递推式得到数列的前n项的和．