Question

设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.
（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；
（2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.

Answer 1

（1）直线（即）的方程为或；（2）详见解析．

试题分析：（1）由已知条件推导出点的坐标为，由此能求出直线（即）的方程．（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线即可．
（1）椭圆的右焦点为，                                 1分
因为线段的中点在y轴上，              
所以点的横坐标为，                                
因为点在椭圆上，
将代入椭圆的方程，得点的坐标为.              3分
所以直线（即）的方程为或.     5分
（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），
要证点与点关于轴对称，
只要证点与点C重合，.
又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），
所以只要证明点，，三点共线.                                7分
以下给出证明：
由题意，设直线的方程为,,，则.
由
得 ，                             9分
所以 ，
，.                        10分
在中，令，得点的坐标为，
由，得点的坐标为，                      11分
设直线，的斜率分别为，，
则  ，   12分
因为 

 
，                     13分
所以 ，所以点，，三点共线，即点与点关于轴对称.       14分