Question

2．等差数列{a_n}的前n项和S_n，公差d，已知sin（a₉+1）+2015（a₉+1）=1，sin（a₂₀₀₇+1）+2015（a₂₀₀₇+1）=-1，则S₂₀₁₅=-2015，d小于（大于，小于，等于）0．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=sinx+2015x，根据f（x）的奇偶性求出a₉+a₂₀₀₇的值，即可得出S₂₀₁₅的值，由f（x）的单调性求出a₉＞a₂₀₀₇，得出公差d＜0．

解答 解：构造函数f（x）=sinx+2015x，则：
x=a₉+1时，f（x）=1，
x=a₂₀₀₇+1时，f（x）=-1；
又f（x）是定义域R上的奇函数，
∴（a₉+1）+（a₂₀₀₇+1）=0，
∴a₉+a₂₀₀₇=-2；
∴S₂₀₁₅=$\frac{{a}_{1}{+a}_{2015}}{2}$×2015=$\frac{{a}_{9}{+a}_{2015}}{2}$×2015=-2015；
又f′（x）=cosx+2015＞0，
∴f（x）是定义域R上的单调增函数，
∴a₉+1＞a₂₀₀₇+1，
∴a₉＞a₂₀₀₇，
∴公差d＜0．
故答案为：-2015，小于．

点评 本题考查了等差数列的应用问题，也考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是综合性题目．