Question

已知M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：||PM|-|PN||=2．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）记点P的轨迹为曲线C，过点N作方向向量为（-1，-1）的直线l，它与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）联系双曲线的第一定义，半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=，故可求点P的轨迹方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据直线l方向向量为（-1，-1），可求直线L的方程为：y=x-2，直线l与曲线C的方程可得：2x²+4x-7=0，利用韦达定理得x₁+x₂=-2，，从而可求|AB|，再求出O点到直线l的距离，即可求出△AOB的面积．
解答：解：（1）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线．
因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=，
所以双曲线的方程为
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）    
∵直线l方向向量为（-1，-1），
∴直线l的斜率k=1
故直线l的方程为：y=x-2      
联立直线l与曲线C的方程
可得：2x²+4x-7=0
∴x₁+x₂=-2，
于是|AB|=
又O点到直线l的距离为：
∴
点评：本题主要考查利用双曲线的定义求轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确运用韦达定理求|AB|