题目内容

已知向量
a
=(cos
3x
4
．sin
3x
4
)，
b
=(cos(
x
4
+
π
3
)，-sin(
x
4
+
π
3
))；　令f(x)=(
a
+
b
)2，
（1）求f（x）解析式及单调递增区间；
（2）若x∈[-
π
6
，
5π
6
]，求函数f（x）的最大值和最小值；
（3）若f（x）=
5
2
，求sin(x-
π
6
)的值．
分析：（1）由向量
a
=(cos
3x
4
．sin
3x
4
)，
b
=(cos(
x
4
+
π
3
)，-sin(
x
4
+
π
3
))，知f(x)=(
a
+
b
)2=
a
2+
b
2+2
a
•
b

=cos2
3x
4
+sin2
3
4
x+cos2(
x
4
+
π
3
)+sin2(
x
4
+
π
3
)+2[cos
3x
4
cos(
x
4
+
π
3
)-sin
3x
x
sin(
x
4
+
π
3
)]，由此能求出f（x）解析式及单调递增区间．
（2）由f（x）=2+2cos（x+
π
3
），x∈[-
π
6
，
5π
6
]，知
π
6
≤x+
π
3
≤
7π
6
，由此能求出f（x）=2+2cos（x+
π
3
）的最大值和最小值．
（3）由f（x）=
5
2
，知f(x)=2+2cos(x+
π
3
)=
5
2
∴cos(x+
π
3
)=
1
4
，由此能够求出sin(x-
π
6
)的值．
解答：解：（1）∵向量
a
=(cos
3x
4
．sin
3x
4
)，
b
=(cos(
x
4
+
π
3
)，-sin(
x
4
+
π
3
))，
∴f(x)=(
a
+
b
)2=
a
2+
b
2+2
a
•
b

=cos2
3x
4
+sin2
3
4
x+cos2(
x
4
+
π
3
)+sin2(
x
4
+
π
3
)+2[cos
3x
4
cos(
x
4
+
π
3
)-sin
3x
x
sin(
x
4
+
π
3
)]
=2+2cos（x+
π
3
），
增区间是：-π+2kπ≤x+
π
3
≤2kπ，k∈Z，
∴-
4π
3
+2kπ≤x≤-
π
3
+2kπ，k∈Z，
∴f（x）解析式为f（x）=2+2cos（x+
π
3
），
单调递增区间是[-
4π
3
+2kπ，-
π
3
+2kπ]，k∈Z．
（2）∵f（x）=2+2cos（x+
π
3
），x∈[-
π
6
，
5π
6
]，
∴
π
6
≤x+
π
3
≤
7π
6
，
∴当x+
π
3
=
π
6
时，f（x）=2+2cos（x+
π
3
）有最大值2+
3
；
当x+
π
3
=
7π
6
时，f（x）=2+2cos（x+
π
3
）有最小值2-
3
．
（3）∵f（x）=
5
2
，∴f(x)=2+2cos(x+
π
3
)=
5
2
∴cos(x+
π
3
)=
1
4
，
所以sin(x-
π
6
)=-sin(
π
6
-x)=-cos(x+
π
3
)=-
1
4
．
点评：本题考查平面向量的综合应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等式的灵活运用，合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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