Question

14．在下列给出的命题中，所有正确命题的个数为（　　）
①函数y=2x³-3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称；
②对?x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1或y≠-1；
③若实数x，y满足x²+y²=1，则$\frac{y}{x+2}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由f（x）+f（-x）=2判断①；写出原命题的逆否命题并判断真假判断②；数形结合判断③；利用三角函数的单调性判断④．

解答 解：对于①，由f（x）+f（-x）=2x³-3x+1-2x³+3x+1=2，则函数y=2x³-3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称，即①正确；
对于②，对?x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1或y≠-1的逆否命题为：对?x，y∈R，若x=1且y=-1，则x+y=0，正确，∴②正确；
对于③，若实数x，y满足x²+y²=1，如图，则$\frac{y}{x+2}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，③正确；
对于④，若△ABC为锐角三角形，则A+B$＞\frac{π}{2}$，A$＞\frac{π}{2}-B$，
∴sinA＞sin（$\frac{π}{2}-B$）=cosB，④错误．
∴正确命题的个数是3个．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了三角函数的单调性，训练了利用数形结合的方法求最值，是中档题．