Question

（本题满分8分）

如图甲，直角梯形中，，，点分别在上，

且，，，现将梯形沿折起，使平面与平面垂直（如图乙）.

(Ⅰ)求证：平面；

（II）当的长为何值时，二面角的大小为？

Answer 1

解：（Ⅰ）如图建立空间直角坐标系N-xyz.

设，则A(2,0,t)，B(2，4，0)，

         又易知平面DNC的一个法向量为，

         由，得AB∥平面DNC.

                                                                          ………………………… 3分

（Ⅱ）设，则D(0,0,t)，C(0,2,0)，B(2,4,0)，故(0,-2,t)，(2,2,0)，

设平面DBC的一个法向量为，则

取，则，即，

又易知平面BCN的一个法向量为，      ………………………… 6分

，即，解得.     ……………… 8分

另解：（Ⅰ）∵MB∥NC，MB平面DNC，NC平面DNC，

∴MB∥平面DNC.      同理MA∥平面DNC，

又MA∩MB＝M且MA、MB平面MAB，

∴平面MAB∥平面NCD，    又AB平面MAB，

∴AB∥平面NCD.                              ………………………… 3分

（Ⅱ）过N作NH⊥BC交BC延长线于H，连结DH，   

     ∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN

∴DN⊥平面MNCB，从而DH⊥BC，

∴∠DHN为二面角D－BC－N的平面角.               ………………………… 5分

由已知得，，∴，，

∴.                        ………………………… 8分