Question

(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.

(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；

(Ⅱ)求四棱锥E-ABCD的体积V；

  (Ⅲ)求二面角E-AD-C的大小.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵E，F分别是PB，PC的中点

∴EF∥BC       ……………………1分

∵BC∥AD

∴EF∥AD       ……………………2分

∵AD平面PAD,EF平面PAD

∴EF∥平面PAD  ……………………4分

(Ⅱ)(法1)∵AP=AB,BP=2,AP⊥平面ABCD

  ∴AB=AP=    ……………………5分

∵S_矩形ABCD=AB·BC=2

  ∴V_P-ABCD=S_矩形ABCD·PA=  …………6分

  ∴V=V_P-ABCD=   ……………………8分

(Ⅱ)(法2)连接EA,EC,ED,过E作EG∥PA交AB于点G

则EG⊥平面ABCD,且EG=PA ………5分

∵AP=AB,PAB=90°,BP=2

∴AP=AB=,EG=       ………6分

∵S_矩形ABCD=AB·BC

=2

∴V=S_矩形ABCD·EG

=           ……………………8分

(Ⅲ)∵PA⊥平面ABCD

∴AD⊥PA

  ∵ABCD是矩形

∴AD⊥AB

  ∵AP∩AB=A

  ∴AD⊥平面ABP

  ∵AE平面ABP

  ∴AD⊥AE

  ∴∠BAE为所求二面角的平面角……11分

  ∵△ABP是等腰直角三角形，E是PB中点

  ∴所求二面角为45° ………………12分