Question

（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，侧面是边长 为2的正三角形，且与底面垂直；底面是菱形，，为的中点．

 

（1）求四棱锥的体积；

（2）求证：平面．

 

Answer 1

【答案】

（1）2；（2）只需证和即可。

【解析】

试题分析：（1）作于,由侧面与底面垂直，

则平面，所以．则PO=．又,

则．

（2）连接．

又由,,

得,即，所以面,

所以． ………6分

取中点，连接．由为中点，

得四边形为平行四边形，所以∥．

又在三角形中,为中点，所以,

所以．又，所以面．

考点：面面垂直的性质定理；线面垂直的判定定理；棱锥的体积公式。

点评：①求四棱锥的体积关键是四棱锥的高；②本题主要考查了空间的线面垂直的证明，充分考查了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力。