Question

【题目】已知数列满足，函数是定义在上的奇函数，且满足.

（Ⅰ）确定与的关系式，并求的解析式.

（Ⅱ）若数列的前项和为，数列的前项和为，且，是否存在实数，使得对于任意的，都有恒成立？若存在，求出的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）存在，的最大值为0.

【解析】

（Ⅰ）根据函数是定义在上的奇函数，且数列满足及，可得，从而可得为等比数列，并得出的解析式；

（Ⅱ）由求出，递推公式代入可得，由裂项求和可得，代入不等式分离参数，转化为函数最值问题即可求解的最大值.

（Ⅰ）∵函数是定义在上的奇函数，且数列满足，

∴，而.

∴.

又，∴，∴，为等比数列.

∴.

（Ⅱ）∵，∴.

∴，

∴

.

∴恒成立，即恒成立，

即对于任意的恒成立，

∵关于单调递减且恒成立，

∴.

∴的最大值为0.