题目内容

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，CC₁=2
（1）求证：平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（2）求平面A₁BC₁与平面ACD₁的距离．

（1）证明：作图如下所示：
∵四边形ACC₁A₁为平行四边形，∴AC∥A₁C₁，
AC?面A₁BC₁，A₁C₁?A₁BC₁，
∴AC∥同理可证CD₁∥面A₁BC₁，
又AC∩CD₁=C，AC?面ACD₁，CD₁?面ACD₁，
∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（2）解：分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A₁（4，0，0），A（4，0，2），D₁（4，3，0），C（0，3，2），
$\text{[math]}$ =（0，0，2）， $\text{[math]}$ =（-4，3，0）， $\text{[math]}$ =（0，3，-2），
设 $\text{[math]}$ =（x，y，z）为面ACD₁的一个法向量，
则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ =（3，4，6），
所以所求距离d=| $\text{[math]}$ |×|cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故平面A₁BC₁与平面ACD₁的距离为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据面面平行的判定定理，要证平面A₁BC₁∥平面ACD₁，只需证明AC∥面A₁BC₁，CD₁∥面A₁BC₁；
（2）建立空间坐标系，设 $\text{[math]}$ 为面ACD₁的一个法向量，则所求距离d=| $\text{[math]}$ |×|cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞|，根据条件计算所求值即可；
点评：本题考查面面平行的判定及两平行面间的距离求解，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力，属中档题．