Question

（

（14分）设函数（R）.

（Ⅰ）当时，求的极值；

（Ⅱ）当时，求的单调区间；

（Ⅲ）当时，对于任意正整数n，在区间上总存在m+4个数

使得

成立，试问：正整数m是否有最大值？若有求其最大值；否则，说明理由.

Answer 1

解析：（Ⅰ）依题意，知的定义域为.

当时， ，.

令，解得.

当时，；当时， .

又，

所以的极小值为，无极大值 . ………………（3分）

（Ⅱ） . 　

令，解得.　　　　………………（4分）

若，令，得；令，得 . 

若，

①当时，，

令，得或；

令，得.

②当时，.

③当时，得，

令，得或；

令，得.

综上，当时，减区间，增区间.　

当时，减区间为；增区间为.

当时，减区间为.

当时，减区间为，增区间为.　                                   …………………………（9分）

对所有满足条件.

所以，正整数的最大值为32. 　　　………………………………（14分）