Question

已知数列的前n项和（n为正整数）。
（1）令，求证数列是等差数列，
（2）求数列的通项公式；
（3）令，。是否存在最小的正整数，使得对于都有恒成立，若存在，求出的值。不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）见解析；（2）；（3）4.

（2）中，利用，对n令值，借助于通项公式与前n项和关系式求解通项公式，令n=1，可得，即；当时，，得到结论（1）中
得证数列是等差数列，（3）中，利用错位相减法可得。
解：
（1）在中，令n=1，可得，即
当时，，
.
.               
又数列是首项和公差均为1的等差数列.   --------5分
（2） 于是.          --------8分
(II)由（I）得，所以


由①-②得                 
           -------12分
  
故的最小值是4                                 ------14分