Question

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，．
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）求O点到平面ACD的距离．

Answer 1

【答案】分析：（I）连接OC，由已知中O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，，根据等腰三角形“三线合一”及勾股定理，可分别证得AO⊥BD，AO⊥AC，结合线面垂直的判定定理即可得到AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）法一：过O作OE⊥BC于E，连接AE，则∠AEO为二面角A-BC-D的平角，解三角形AEO即可得到二面角A-BC-D的余弦值；
法二：以O为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC与平面BCD的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）法一：设点O到平面ACD的距离为h，根据V_O-ACD=V_A-OCD，分别求出三棱锥的体积和底面ACD的面积，即可得到O点到平面ACD的距离；
法二：求出平面ACD的法向量，代入公式，即可得到O点到平面ACD的距离．
解答：解法一：（I）证明：连接OC，△ABD为等边三角形，O为BD的中点，∴AO⊥BD，∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，，∴．
在△AOC中，∵AO²+CO²=AC²，∴∠AOC=90°，即AO⊥AC．∵BD∩OC=0，AD⊥面BCD．
（Ⅱ）
过O作OE⊥BC于E，连接AE，
∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影为OE
∴AE⊥BC∴∠AEO为二面角A-BC-D的平角．
在Rt△AEO中，
∴二面角A-BC-D的余弦值为
（Ⅲ）解：设点O到平面ACD的距离为h，
∵V_O-ACD=V_A-OCD，
∴
在△ACD中，，
而，∴∴点O到平面ACD的距离为．
解法二：（I）同解法一．
（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
∵AO⊥平面BCD，
∴平面BCD的法向量
设平面ABC的法向量，
由
设与夹角为θ，则
∴二面角A-BC-D的余弦值为．
（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为，又
设与夹角为θ，则
设O到平面ACD的距离为h，∵，∴O到平面ACD的距离为．
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，点到平面的距离，其中解法一（几何法）中要熟练掌握空间线线垂直，线面垂直之间的相互转化，及棱锥体积的转化；解法二（向量法）的关键是建立适当的坐标系，将二面角问题及点到平面的距离问题转化为向量问题．