Question

5．已知二次函数的图象过点（-3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，则此二次函数的表达式为y=$\frac{1}{2}{x^2}+x-\frac{3}{2}$，或y=-$\frac{1}{2}{x^2}-x+\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 法一：设函数为交点式，利用二次函数图象的顶点到x轴的距离2，可得函数解析式；
法二：设函数为顶点式，利用函数图象过点（1，0），可得函数解析式．

解答 解：法一：∵二次函数的图象过点（-3，0），（1，0），
∴可设二次函数为y=a（x+3）（x-1）（a≠0），
展开，得 y=ax²+2ax-3a，
顶点的纵坐标为 $\frac{{-12{a^2}-4{a^2}}}{4a}=-4a$，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴|-4a|=2，即a=$±\frac{1}{2}$．
所以，二次函数的表达式为y=$\frac{1}{2}{x^2}+x-\frac{3}{2}$，或y=-$\frac{1}{2}{x^2}-x+\frac{3}{2}$．
法二：∵二次函数的图象过点（-3，0），（1，0），
∴对称轴为直线x=-1．
又顶点到x轴的距离为2，
∴顶点的纵坐标为2，或-2．
于是可设二次函数为y=a（x+1）²+2，或y=a（x+1）²-2，
由于函数图象过点（1，0），
∴0=a（1+1）²+2，或0=a（1+1）²-2．
∴a=-$\frac{1}{2}$，或a=$\frac{1}{2}$．
所以，所求的二次函数为y=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+2，或y=$\frac{1}{2}$（x+1）²-2．
故答案为：y=$\frac{1}{2}{x^2}+x-\frac{3}{2}$，或y=-$\frac{1}{2}{x^2}-x+\frac{3}{2}$．

点评 本题考查函数解析式的求法，解题的关键是正确设出函数的解析式，利用待定系数法是解决本题的关键．．