Question

已知函数f（x）=x²+lnx．
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=

2

3

x³+

1

2

x²的下方．

Answer 1

分析：（1）求出导数f′（x），易判断x＞1时f′（x）的符号，从而可知f（x）的单调性，根据单调性可得函数的最值；
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2-

2

3

x3+lnx，则只需证明F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为F（x）的最大值小于0，利用导数可求得F（x）的最大值．

解答：（1）解：∵f（x）=x²+lnx，∴f′（x）=2x+

1

x

，
∵x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，e]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e²；
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2-

2

3

x3+lnx，
则F′（x）=x-2x²+

1

x

=

x2-2x3+1

x

=

x2-x3-x3+1

x

=

(1-x)(2x2+x+1)

x

，
∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴F（x）＜F（1）=

1

2

-

2

3

=-

1

6

＜0，即f（x）＜g（x），
∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．

点评：本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值及恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．