Question

.已知函数（1）判定的单调性，并证明。

（2）设，若方程有实根，求的取值范围。

（3）求函数在上的最大值和最小值。

Answer 1

（1）当x<-3时，当a>1时，f(x₁)-f(x₂)<0，∴f(x)在()上单调递增

当0<a<1时，f(x₁)-f(x₂)>0, ∴f(x)在()上单调递减

当x>3时，同理。（2）；（3）函数h(x)在[4,6]上的最为，最大值为h(4)=-2。

解析:

（1），当x<-3时，任取x₁<x₂<-3

则-＝，

∵(x₁-3)(x₂+3)-(x₁+3)(x₂-3)=6(x₁-x₂)<0，

又（x₁-3）(x₂+3)>0且(x₁+3)(x₂-3)>0

∴<1

∴当a>1时，f(x₁)-f(x₂)<0，∴f(x)在()上单调递增

当0<a<1时，f(x₁)-f(x₂)>0, ∴f(x)在()上单调递减

当x>3时，同理。

（2）若f(x)=g(x)有实根，即:

∴，∴方程有大于3的实根。

∴

＝

当且仅当，即“＝”号成立

∴。

（3），

由得x²-3x-4=0解得x₁=4,x₂=-1（舍去）

当时，单调递减；

∴函数h(x)在[4,6]上的最为，最大值为h(4)=-2。