Question

已知函数f（x）=ax²-2

4+2b-b2

•x，g（x）=-

1-(x-a)2

，若存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值，则这样的整数对（a，b）为

 

．

Answer 1

分析：讨论a为0时不可能，要使f（x）有最大值，必须满足

a＜0 4+2b-b2

≥ 0，求出此时的x=x₀，根据g（x）取最小值时，x=x₀=a，建立等量关系，结合a是整数，求出a和b的值．

解答：解：若a=0，f(x)=-2

4+2b-b2

x，则f（x）无最大值，故a≠0，
∴f（x）为二次函数，
要使f（x）有最大值，必须满足

a＜0 4+2b-b2

≥ 0，即a＜0且 1-

5

≤b≤1+

5

，
此时，x=x0=

4+2b-b2

a

时，f（x）有最大值．
又g（x）取最小值时，x=x₀=a，
依题意，有

4+2b-b2

a

=a∈Z，
则 a2=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

，
∵a＜0且 1-

5

≤b≤1+

5

，
∴0＜a2≤

5

(a∈Z)，得a=-1，此时b=-1或b=3．
∴满足条件的实数对（a，b）是（-1，-1），（-1，3）．
故答案为：（-1，-1）（-1，3）．

点评：本题主要考查了函数单调性的应用，以及函数的最值及其几何意义，属于基础题．