已知向量$\overrightarrow{a}$=(2cos$\frac{ωx}{2}$.$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$).$\overrightarrow{b}$=(cos$\frac{ωx}{2}$.2cos$\frac{ωx}{2}$).=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$.且f(x)的最小正周期为π．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos$\frac{ωx}{2}$，$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{ωx}{2}$，2cos$\frac{ωx}{2}$），（ω＞0），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求f（x）的单调递增区间．

分析（1）代入向量数量积公式，易得到函数的解析式，根据f（x）的最小正周期为π，易得到ω的值；
（2）根据（1）的结论，根据正弦型函数的单调性的确定方法，即可得到f（x）的单调增区间．

解答解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（2cos$\frac{ωx}{2}$，$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{ωx}{2}$，2cos$\frac{ωx}{2}$），（ω＞0），
则函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2cos²$\frac{ωx}{2}$+2$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$•cos$\frac{ωx}{2}$=cosωx+1+$\sqrt{3}$sinωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+1，
∵f（x）的最小正周期为π，
∴π=$\frac{2π}{ω}$．解得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．

点评本题考查的知识点是正弦函数的单调性，三角函数的周期性及其求法，其中根据已知条件结合平面向量的数量积运算公式，得到函数的解析式，是解答本题的关键．

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