Question

已知数列{a_n}中，数列

a

1

=

3

5

，

a

n

a

n-1

+1=2a_n-1（n≥2，n∈N^*）数列{b_n}满足b_n=

1

an-1

（1）求b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（2）求证：{b_n}是等差数列．

Answer 1

分析：（1）根据数列的递推公式进行计算即可求b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（2）根据等差数列的定义即可证明{b_n}是等差数列．

解答：解：（1）∵数列

a

1

=

3

5

，

a

n

a

n-1

+1=2a_n-1（n≥2，n∈N^*）
∴an=

2an-1-1

an-1

=2-

1

an-1

，
∴a2=2-

1

a1

=2-

5

3

=

1

3

，a3=2-

1

a1

=2-3=-1，a₄=2-（-1）=3，
∵b_n=

1

an-1

，
∴b₁=

1

3 5 -1

=

1

- 2 5

=-

5

2

，b₂=

1

1 3 -1

=

1

- 2 3

=-

3

2

，b₃=

1

-1-1

=-

1

2

，b₄=

1

3-1

=

1

2

．
（2）∵

a

n

a

n-1

+1=2a_n-1（n≥2，n∈N^*）
∴an=

2an-1-1

an-1

，
即bn=

1

an-1

=

1

2an-1-1 an-1 -1

=1+

1

an-1-1

=1+b_n-1．
∴b_n-b_n-1=1，
即{b_n}是以-

5

2

为首项，1为公差的等差数列．

点评：本题主要考查递推数列的应用，以及等差数列的证明，考查学生的计算能力．