Question

已知函数f（x）=x²-2x-8，g（x）=2x²-4x-16，
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若对一切x＞5，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）g（x）=2x²-4x-16＜0，
∴（2x+4）（x-4）＜0，
∴-2＜x＜4，
∴不等式g（x）＜0的解集为{x|-2＜x＜4}．
（2）∵f（x）=x²-2x-8．
当x＞2时，f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，
∴x²-2x-8≥（m+2）x-m-15，
即x²-4x+7≥m（x-1）．
∴对一切x＞2，均有不等式成立．
而（当x=3时等号成立）．
∵x＞5，
∴实数m的取值范围是（-∞，2]．
分析：（1）由g（x）=2x²-4x-16＜0，知（2x+4）（x-4）＜0，由此能求出不等式g（x）＜0的解集．
（2）由f（x）=x²-2x-8．当x＞2时，f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，所以x²-2x-8≥（m+2）x-m-15，由此能求出实数m的取值范围．
点评：本题考查函数的恒成立问题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数性质的灵活运用．