Question

设点P(0 ， 

9

2

)，动点A，B在椭圆

x2

18

+

y2

9

=1上且满足

PA

=λ

PB

，则λ的取值范围是

[

1

5

，5]

．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线AB方程y=kx+

9

2

与椭圆方程联解利用根与系数的关系可得：（1+λ）x₂=

-18k

2k2+1

，x₁x₂=λx₂²=

45

2(2k2+1)

，化简得

(1+λ)2

λ

=

72k2

5(2k2+1)

，根据右边对应函数的单调性建立关于λ的不等式，解之即可得到实数λ的取值范围．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，

9

2

）
∵

PA

=λ

PB

，
∴（x₁，y₁-

9

2

）=λ（x₂，y₂-

9

2

），可得x₁=λx₂，
设直线AB方程为y=kx+

9

2

与椭圆

x2

18

+

y2

9

=1消去y得（2k²+1）x²+18kx+

45

2

=0，
x₁+x₂=（1+λ）x₂=

-18k

2k2+1

，…（1）；x₁x₂=λx₂²=

45

2(2k2+1)

，…（2）
将（1）、（2）消去x₂，得

(1+λ)2

λ

=

72k2

5(2k2+1)

∵方程（2k²+1）x²+18kx+

45

2

=0有实数根，
∴△=（18k）²-4（2k²+1）×

45

2

≥0，整理得k²≥

5

8

，
∵F（k²）=

72k2

5(2k2+1)

=

36

5

-

36

5(2k2+1)

是关于k²的增函数
∴4≤F（k²）≤

36

5

，可得4≤

(1+λ)2

λ

≤

36

5

，解之得

1

5

≤λ≤5．
即实数λ的取值范围是[

1

5

，5]
故答案为：[

1

5

，5]

点评：本题给出椭圆经过点P的一条弦AB满足

PA

=λ

PB

，求参数λ的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．