Question

3．设{a_n}是等比数列，公比q=2，S_n为{a_n}的前n项和．记${T_n}=\frac{{17{S_n}-{S_{2n}}}}{{{a_{n+1}}}}$，n∈N^*，设T_n为数列{T_n}最大项，则n=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 利用等比数列的前n项和公式可得：${T_n}=\frac{{17{S_n}-{S_{2n}}}}{{{a_{n+1}}}}$=17-$（{2}^{n}+\frac{16}{{2}^{n}}）$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：S_n=$\frac{{a}_{1}（{2}^{n}-1）}{2-1}$=${a}_{1}（{2}^{n}-1）$，S_2n=${a}_{1}（{2}^{2n}-1）$，${a}_{n+1}={a}_{1}•{2}^{n}$，
∴${T_n}=\frac{{17{S_n}-{S_{2n}}}}{{{a_{n+1}}}}$=$\frac{17{a}_{1}（{2}^{n}-1）-{a}_{1}（{2}^{2n}-1）}{{a}_{1}•{2}^{n}}$=17-$（{2}^{n}+\frac{16}{{2}^{n}}）$≤17-8=9，当且仅当n=2时取等号，
∴数列{T_n}最大项为T₂，
则n=2．
故选：A．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．